Fixed Parameter Linear Time Algorithms For Np Hard Graph And Hypergraph Problems Arising In Industrial Applications

Author : Bevern, René van
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 379832705X
Total Pages : 229 pages
Book Rating : 4.54/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Fixed-Parameter Linear-Time Algorithms for NP-hard Graph and Hypergraph Problems Arising in Industrial Applications written by Bevern, René van and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2014-10-01 with total page 229 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: This thesis aims for the development of efficient algorithms to exactly solve four selected NP-hard graph and hypergraph problems arising in the fields of scheduling, steel manufactoring, software engineering, radio frequency allocation, computer-aided circuit design, and social network analysis. NP-hard problems presumably cannot be solved exactly in a running time growing only polynomially with the input size. In order to still solve the considered problems efficiently, this thesis develops linear-time data reduction and fixed-parameter linear-time algorithms—algorithms that can be proven to run in linear time if certain parameters of the problem instances are constant. Besides proving linear worst-case running times, the efficiency of most of the developed algorithms is evaluated experimentally. Moreover, the limits of fixed-parameter linear-time algorithms and provably efficient and effective data reduction are shown. Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung effizienter Algorithmen zur exakten Lösung vier ausgewählter NP-schwerer Probleme aus der Ablaufplanung, Stahlverarbeitung, Softwaretechnik, Frequenzzuteilung, aus der computergestützten Hardwareentwicklung und der Analyse sozialer Netzwerke. NP-schwere Probleme können vermutlich nicht optimal in einer polynomiell mit der Eingabegröße wachsenden Zeit gelöst werden. Um sie dennoch effizient zu lösen, entwickelt diese Arbeit Linearzeitdatenreduktionsalgorithmen und Festparameter-Linearzeitalgorithmen – Algorithmen, die beweisbar in Linearzeit laufen, wenn bestimmte Parameter der Probleminstanzen konstant sind. Hierbei wird nicht nur bewiesen, dass die entwickelten Algorithmen in Linearzeit laufen, es findet zusätzlich eine experimentelle Evaluation der meisten der entwickelten Algorithmen statt. Ferner werden die Grenzen von Festparameter-Linearzeitalgorithmen und beweisbar effizienter und effektiver Datenreduktion aufgezeigt.

Author : René van Bevern
Publisher :
ISBN 13 : 9783798327061
Total Pages : 205 pages
Book Rating : 4.68/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Fixed-parameter Linear-time Algorithms for NP-hard Graph and Hypergraph Problems Arising in Industrial Applications written by René van Bevern and published by . This book was released on 2014 with total page 205 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt:

Author : Hatzel, Meike
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798332916
Total Pages : 294 pages
Book Rating : 4.11/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Dualities in graphs and digraphs written by Hatzel, Meike and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2023-05-23 with total page 294 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: In this thesis we describe dualities in directed as well as undirected graphs based on tools such as width-parameters, obstructions and substructures. We mainly focus on directed graphs and their structure. In the context of a long open conjecture that bounds the monotonicity costs of a version of the directed cops and robber game, we introduce new width-measures based on directed separations that are closely related to DAG-width. We identify a tangle-like obstruction for which we prove a duality theorem. Johnson, Reed, Robertson, Seymour and Thomas introduced the width measure directed treewidth as a generalisation of treewidth for directed graphs. We introduce a new width measure, the cyclewidth, which is parametrically equivalent to directed treewidth. Making use of the connection between directed graphs and bipartite graphs with perfect matchings we characterise the digraphs of low cyclewidth. Generalising the seminal work by Robertson and Seymour resulting in a global structure theorem for undirected graphs, there is the goal of obtaining a structure theorem, based on directed treewidth, describing the structure of the directed graphs excluding a fixed butterfly minor. Working in this direction we present a new flat wall theorem for directed graphs which we believe to provide a better base for a directed structure theorem than the existing ones. On undirected graphs we present several results on induced subgraphs in the graphs themselves or the square graph of their linegraph. These results range from general statements about all graphs to the consideration of specific graph classes such as the one with exactly two moplexes. In der vorliegenden Arbeit beschreiben wir Dualitäten in gerichteten sowie in ungerichteten Graphen basierend auf Konzepten wie Weiteparametern, Obstruktionen und Substrukturen. Der Hauptfokus der Arbeit liegt bei gerichteten Graphen und ihrer Struktur. Im Kontext einer lange offenen Vermutung, dass die Monotoniekosten einer Variante des Räuber und Gendarm Spiels für gerichtete Graphen beschränkt sind, führen wir neue Weiteparameter ein, die auf gerichteten Separationen basieren und eng mit DAG-Weite verwandt sind. Wir identifizieren Tangle-artige Obstruktionen zu diesen Weiteparametern und beweisen die Dualität zwischen diesen beiden Konzepten. Johnson, Reed, Robertson, Seymour und Thomas haben die gerichtete Baumweite als gerichtete Verallgemeinerung der Baumweite auf ungerichteten Graphen eingeführt. Wir führen einen neuen Weiteparameter, die Cyclewidth, ein, der parametrisch equivalent zur gerichteten Baumweite ist. Unter Nutzung der Verwandtschaft von gerichteten Graphen und bipartiten Graphen mit perfekten Matchings charakterisieren wir die gerichteten Graphen mit kleiner Cyclewidth. Ein einschlagendes Ergebnis in der Graphenstrukturtheorie ist das Strukturtheorem von Robertson und Seymour. Basierend darauf gibt es Anstrengungen ein solches Strukturtheorem auch für gerichtete Graphen zu finden und dafür die gerichtete Baumweite als Grundlage zu nutzen. Dieses Theorem soll die Struktur aller gerichteten Graphen beschreiben, die einen festen gerichteten Graphen als Butterflyminoren ausschließen. In diesem Kontext beweisen wir ein neues Flat-wall-theorem für gerichtete Graphen, dass unserer Erwartung nach eine bessere Basis für ein gerichtetes Strukturtheorem bietet als die bisher betrachteten Alternativen. Auf ungerichteten Graphen präsentieren wir einige Ergebnisse bezüglich induzierten Subgraphen in gegebenen Graphen oder ihren Linegraphen. Diese Ergebnisse reichen von der Betrachtung spezifischer Graphklassen, wie den Graphen mit zwei Moplexen, bis zu Ergebnissen auf der allgemeinen Klasse aller Graphen.

Author : Froese, Vincent
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798330034
Total Pages : 185 pages
Book Rating : 4.30/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Fine-grained complexity analysis of some combinatorial data science problems written by Froese, Vincent and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2018-10-10 with total page 185 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: This thesis is concerned with analyzing the computational complexity of NP-hard problems related to data science. For most of the problems considered in this thesis, the computational complexity has not been intensively studied before. We focus on the complexity of computing exact problem solutions and conduct a detailed analysis identifying tractable special cases. To this end, we adopt a parameterized viewpoint in which we spot several parameters which describe properties of a specific problem instance that allow to solve the instance efficiently. We develop specialized algorithms whose running times are polynomial if the corresponding parameter value is constant. We also investigate in which cases the problems remain intractable even for small parameter values. We thereby chart the border between tractability and intractability for some practically motivated problems which yields a better understanding of their computational complexity. In particular, we consider the following problems. General Position Subset Selection is the problem to select a maximum number of points in general position from a given set of points in the plane. Point sets in general position are well-studied in geometry and play a role in data visualization. We prove several computational hardness results and show how polynomial-time data reduction can be applied to solve the problem if the sought number of points in general position is very small or very large. The Distinct Vectors problem asks to select a minimum number of columns in a given matrix such that all rows in the selected submatrix are pairwise distinct. This problem is motivated by combinatorial feature selection. We prove a complexity dichotomy with respect to combinations of the minimum and the maximum pairwise Hamming distance of the rows for binary input matrices, thus separating polynomial-time solvable from NP-hard cases. Co-Clustering is a well-known matrix clustering problem in data mining where the goal is to partition a matrix into homogenous submatrices. We conduct an extensive multivariate complexity analysis revealing several NP-hard and some polynomial-time solvable and fixed-parameter tractable cases. The generic F-free Editing problem is a graph modification problem in which a given graph has to be modified by a minimum number of edge modifications such that it does not contain any induced subgraph isomorphic to the graph F. We consider three special cases of this problem: The graph clustering problem Cluster Editing with applications in machine learning, the Triangle Deletion problem which is motivated by network cluster analysis, and Feedback Arc Set in Tournaments with applications in rank aggregation. We introduce a new parameterization by the number of edge modifications above a lower bound derived from a packing of induced forbidden subgraphs and show fixed-parameter tractability for all of the three above problems with respect to this parameter. Moreover, we prove several NP-hardness results for other variants of F-free Editing for a constant parameter value. The problem DTW-Mean is to compute a mean time series of a given sample of time series with respect to the dynamic time warping distance. This is a fundamental problem in time series analysis the complexity of which is unknown. We give an exact exponential-time algorithm for DTW-Mean and prove polynomial-time solvability for the special case of binary time series. Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse der Berechnungskomplexität von NP-schweren Problemen aus dem Bereich Data Science. Für die meisten der hier betrachteten Probleme wurde die Berechnungskomplexität bisher nicht sehr detailliert untersucht. Wir führen daher eine genaue Komplexitätsanalyse dieser Probleme durch, mit dem Ziel, effizient lösbare Spezialfälle zu identifizieren. Zu diesem Zweck nehmen wir eine parametrisierte Perspektive ein, bei der wir bestimmte Parameter definieren, welche Eigenschaften einer konkreten Probleminstanz beschreiben, die es ermöglichen, diese Instanz effizient zu lösen. Wir entwickeln dabei spezielle Algorithmen, deren Laufzeit für konstante Parameterwerte polynomiell ist. Darüber hinaus untersuchen wir, in welchen Fällen die Probleme selbst bei kleinen Parameterwerten berechnungsschwer bleiben. Somit skizzieren wir die Grenze zwischen schweren und handhabbaren Probleminstanzen, um ein besseres Verständnis der Berechnungskomplexität für die folgenden praktisch motivierten Probleme zu erlangen. Beim General Position Subset Selection Problem ist eine Menge von Punkten in der Ebene gegeben und das Ziel ist es, möglichst viele Punkte in allgemeiner Lage davon auszuwählen. Punktmengen in allgemeiner Lage sind in der Geometrie gut untersucht und spielen unter anderem im Bereich der Datenvisualisierung eine Rolle. Wir beweisen etliche Härteergebnisse und zeigen, wie das Problem mittels Polynomzeitdatenreduktion gelöst werden kann, falls die Anzahl gesuchter Punkte in allgemeiner Lage sehr klein oder sehr groß ist. Distinct Vectors ist das Problem, möglichst wenige Spalten einer gegebenen Matrix so auszuwählen, dass in der verbleibenden Submatrix alle Zeilen paarweise verschieden sind. Dieses Problem hat Anwendungen im Bereich der kombinatorischen Merkmalsselektion. Wir betrachten Kombinationen aus maximalem und minimalem paarweisen Hamming-Abstand der Zeilenvektoren und beweisen eine Komplexitätsdichotomie für Binärmatrizen, welche die NP-schweren von den polynomzeitlösbaren Kombinationen unterscheidet. Co-Clustering ist ein bekanntes Matrix-Clustering-Problem aus dem Gebiet Data-Mining. Ziel ist es, eine Matrix in möglichst homogene Submatrizen zu partitionieren. Wir führen eine umfangreiche multivariate Komplexitätsanalyse durch, in der wir zahlreiche NP-schwere, sowie polynomzeitlösbare und festparameterhandhabbare Spezialfälle identifizieren. Bei F-free Editing handelt es sich um ein generisches Graphmodifikationsproblem, bei dem ein Graph durch möglichst wenige Kantenmodifikationen so abgeändert werden soll, dass er keinen induzierten Teilgraphen mehr enthält, der isomorph zum Graphen F ist. Wir betrachten die drei folgenden Spezialfälle dieses Problems: Das Graph-Clustering-Problem Cluster Editing aus dem Bereich des Maschinellen Lernens, das Triangle Deletion Problem aus der Netzwerk-Cluster-Analyse und das Problem Feedback Arc Set in Tournaments mit Anwendungen bei der Aggregation von Rankings. Wir betrachten eine neue Parametrisierung mittels der Differenz zwischen der maximalen Anzahl Kantenmodifikationen und einer unteren Schranke, welche durch eine Menge von induzierten Teilgraphen bestimmt ist. Wir zeigen Festparameterhandhabbarkeit der drei obigen Probleme bezüglich dieses Parameters. Darüber hinaus beweisen wir etliche NP-Schwereergebnisse für andere Problemvarianten von F-free Editing bei konstantem Parameterwert. DTW-Mean ist das Problem, eine Durchschnittszeitreihe bezüglich der Dynamic-Time-Warping-Distanz für eine Menge gegebener Zeitreihen zu berechnen. Hierbei handelt es sich um ein grundlegendes Problem der Zeitreihenanalyse, dessen Komplexität bisher unbekannt ist. Wir entwickeln einen exakten Exponentialzeitalgorithmus für DTW-Mean und zeigen, dass der Spezialfall binärer Zeitreihen in polynomieller Zeit lösbar ist.

Author : Siebertz, Sebastian
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798328188
Total Pages : 167 pages
Book Rating : 4.81/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Nowhere Dense Classes of Graphs written by Siebertz, Sebastian and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2016-05-24 with total page 167 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: We show that every first-order property of graphs can be decided in almost linear time on every nowhere dense class of graphs. For graph classes closed under taking subgraphs, our result is optimal (under a standard complexity theoretic assumption): it was known before that for all classes C of graphs closed under taking subgraphs, if deciding first-order properties of graphs in C is fixed-parameter tractable, parameterized by the length of the input formula, then C must be nowhere dense. Nowhere dense graph classes form a large variety of classes of sparse graphs including the class of planar graphs, actually all classes with excluded minors, and also bounded degree graphs and graph classes of bounded expansion. For our proof, we provide two new characterisations of nowhere dense classes of graphs. The first characterisation is in terms of a game, which explains the local structure of graphs from nowhere dense classes. The second characterisation is by the existence of sparse neighbourhood covers. On the logical side, we prove a rank-preserving version of Gaifman's locality theorem. The characterisation by neighbourhood covers is based on a characterisation of nowhere dense classes by generalised colouring numbers. We show several new bounds for the generalised colouring numbers on restricted graph classes, such as for proper minor closed classes and for planar graphs. Finally, we study the parameterized complexity of the first-order model-checking problem on structures where an ordering is available to be used in formulas. We show that first-order logic on ordered structures as well as on structures with a successor relation is essentially intractable on nearly all interesting classes. On the other hand, we show that the model-checking problem of order-invariant monadic second-order logic is tractable essentially on the same classes as plain monadic second-order logic and that the model-checking problem for successor-invariant first-order logic is tractable on planar graphs. Wir zeigen, dass jede Eigenschaft von Graphen aus einer nowhere dense Klasse von Graphen, die in der Präadikatenlogik formuliert werden kann, in fast linearer Zeit entschieden werden kann. Dieses Ergebnis ist optimal für Klassen von Graphen, die unter Subgraphen abgeschlossen sind (unter einer Standardannahme aus der Komplexitätstheorie). Um den obigen Satz zu beweisen, führen wir zwei neue Charakterisierungen von nowhere dense Klassen von Graphen ein. Zunächst charakterisieren wir solche Klassen durch ein Spiel, das die lokalen Eigenschaften von Graphen beschreibt. Weiter zeigen wir, dass eine Klasse, die unter Subgraphen abgeschlossen ist, genau dann nowhere dense ist, wenn alle lokalen Nachbarschaften von Graphen der Klasse dünn überdeckt werden können. Weiterhin beweisen wir eine erweiterte Version von Gaifman's Lokalitätssatz für die Prädikatenlogik, der eine Übersetzung von Formeln in lokale Formeln des gleichen Ranges erlaubt. In Kombination erlauben diese neuen Charakterisierungen einen effizienten, rekursiven Lösungsansatz für das Model-Checking Problem der Prädikatenlogik. Die Charakterisierung der nowhere dense Graphklassen durch die oben beschriebenen Überdeckungen basiert auf einer bekannten Charakterisierung durch verallgemeinerte Färbungszahlen. Unser Studium dieser Zahlen führt zu neuen, verbesserten Schranken für die verallgemeinerten Färbungszahlen von nowhere dense Klassen von Graphen, insbesondere für einige wichtige Subklassen, z. B. für Klassen mit ausgeschlossenen Minoren und für planare Graphen. Zuletzt untersuchen wir, welche Auswirkungen eine Erweiterung der Logik durch Ordnungs- bzw. Nachfolgerrelationen auf die Komplexität des Model-Checking Problems hat. Wir zeigen, dass das Problem auf fast allen interessanten Klassen nicht effizient gelöst werden kann, wenn eine beliebige Ordnungs- oder Nachfolgerrelation zum Graphen hinzugefügt wird. Andererseits zeigen wir, dass das Problem für ordnungsinvariante monadische Logik zweiter Stufe auf allen Klassen, für die bekannt ist, dass es für monadische Logik zweiter Stufe effizient gelöst werden kann, auch effizient gelöst werden kann. Wir zeigen, dass das Problem für nachfolgerinvariante Prädikatenlogik auf planaren Graphen effizient gelöst werden kann.

Author : Arbach, Youssef
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798328560
Total Pages : 193 pages
Book Rating : 4.63/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book On the Foundations of Dynamic Coalitions written by Arbach, Youssef and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2016-09-16 with total page 193 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: Dynamic Coalitions denote a temporary collaboration between different entities to achieve a common goal. A key feature that distinguishes Dynamic Coalitions from static coalitions is Dynamic Membership, where new members can join and others can leave after a coalition is set. This thesis studies workflows in Dynamic Coalitions, by analyzing their features, highlighting their unique characteristics and similarities to other workflows, and investigating their relation with Dynamic Membership. For this purpose, we use the formal model of Event Structures and extend it to faithfully model scenarios taken as use cases from healthcare. Event Structures allow for workflows modeling in general, and for modeling Dynamic Membership in Dynamic Coalitions as well through capturing the join and leave events of members. To this end, we first extend Event Structures with Dynamic Causality to address the dynamic nature of DCs. Dynamic Causality allows some events to change the causal dependencies of other events in a structure. Then, we study the expressive power of the resulting Event Structures and show that they contribute only to a specific kind of changes in workflows, namely the pre-planned changes. Second, we present Evolving Structures in order to support ad-hoc and unforeseen changes in workflows, as required by the use cases. Evolving Structures connect different Event Structures with an evolution relation which allows for changing an Event Structure during a system run. We consider different approaches to model evolution and study their equivalences. Furthermore, we show that the history of a workflow should be preserved in our case of evolution in Dynamic Coalitions, and we allow for extracting changes from an evolution to support Process Learning. Third, to capture the goals of DCs, we equip Evolving Structures with constraints concerning the reachability of a set of events that represents a goal. The former extensions allow for examining the changes and evolutions caused by members, and examining members’ contributions to goal satisfaction, through their join and leave events. Finally, we highlight many modeling features posed as requirements by the domain of our Dynamic-Coalition use cases, namely the healthcare, which are independent from the nature of Dynamic Coalitions, e.g. timing. We examine the literature of Event Structures for supporting such features, and we identify that the notion of Priority is missing in Event Structures. To this end, we add Priority to various kinds of Event Structures from the literature. Furthermore, we study the relation between priority on one side, and conjunctive causality, disjunctive causality, causal ambiguity and various kinds of conflict on the other side. Comparing to Adaptive Workflows, which are concerned with evolutions of workflows that occur as a response to changes, e.g. changes in the business environment or exceptions, this thesis shows that Dynamic-Coalition workflows are not only Adaptive but also Goal-Oriented. Besides, it adds one extra trigger for evolution in workflows—unique to Dynamic Coalitions—namely the join of new members who contribute to goal satisfaction in a Dynamic Coalition. Finally the thesis contributes to bridging the gap in modeling between theory and domain experts by supporting step-by-step modeling applied regularly in healthcare and other domains. Dynamische Koalitionen (DKen) bezeichnen eine temporäre Kollaboration zwischen verschiedenen Entitäten zum Erreichen eines gemeinsamen Ziels. Ein Schüsselaspekt, welcher dynamische Koalitionen von statischen Koalitionen unterscheidet ist die dynamische Mitgliedschaft, durch die neue Mitglieder hinzu- kommen und andere die Koalitionen verlassen können, nachdem sie entstanden ist. Diese Arbeit studiert Workflows in dynamische Koalitionen durch eine Analyse ihrer Eigenschaften, das Herausstellen ihrer einzigartigen Charakteristika und Ähnlichkeiten zu anderen Workflows und durch eine Untersuchung ihrer Beziehung zu dynamischer Mitgliedschaft. In diesem Sinne nutzen wir das formales Model der Ereignisstukturen (ESen) und erweitern es, um Fallstudien aus der Medizin angemessen zu modellieren. ESen erlauben sowohl eine generelle Workflow Modellierung als auch eine Darstellung von Eintritt- und Austrittereignissen von Mitgliedern. Zu diesem Zweck erweitern wir ESen zuerst um Dynamische Kausalität, um die dynamische Natur von DKs abzubilden. Dynamische Kausalität erlaubt bestimmten Ereignissen die kausalen Abhängigkeiten anderer Ereignissen in einer Struktur zu verändern. Dann untersuchen wir die Ausdrucksstärke der resutierenden ESen und zeigen, dass sie nur eine spezifische Art der Veränderung abbilden, die sogenannten vorgeplanten Veränderungen. Als Zweites präsentieren wir Evolving in ESen um ad-hoc- und unvorhergesehene Veränderungen zu unterstützen, wie es durch unsere Fallstudien benötigt wird. Evolving in ESen verbinden verschiedene ESen mit einer Relation, welche eine Veränderung einer ES während eines Ablaufes erlaubt. Wir ziehen verschiedene Ansätze der Modelevolution in Betracht und untersuchen ihre Äquivalenzen. Des Weiteren zeigen wir, dass in unserem Fall der Evolution in DKen die Geschichte eines Workflows erhalten bleiben muss und wir ermöglichen das Extrahieren von Veränderungen einer Evolution, um Process Learning zu unterstützen. Drittens: Um die Ziele von DKen abzubilden, fügen wir den Evolving in ESen mit Einschränkungen bezüglich der Erreichbarkeit einer Menge von Ereignissen hinzu, welche das Ziel repräsentieren. Die genannten Erweiterungen erlauben es sowohl die Änderungen und Evolutionen, die vom Mitgliedern verursacht werden als auch die Beiträge der Mitglieder zur Zielerreichung durch deren Entritt- und Austrittereignissen zu untersuchen. Schlussendlich, stellen wir viele Modellierungseigen- schaften dar, welche von den DK-Fallstudien aus der Medizin benötigt werden und unabhängig von der Natur der DKen sind, wie z.B. Timing. Wir untersuchen die Literatur zu ESen bezüglich Unterstützung für solche Eigenschaften und stellen fest, dass der Begriff Priorität in ESen fehlt. Daher fügen wir Priorität zu verschiedenen ESen aus der Literatur hinzu. Des Weiteren untersuchen wir die Beziehungen von Priorität auf zu Konjunktiver Kausalität, disjunktiver Kausalität, kausal Uneindeutigkeit und verschiedenen Formen von Konflikt. Im Vergleich zu Adaptive Workflows, welche sich mit der Evolution von Workflows beschäftigt, die als Reaktion auf Veränderungen entsteht, wie z.B. Veränderungen im Business Environment oder Exceptions, zeigt diese Arbeit das DKen nicht nur adaptiv sondern auch zielorientiert sind. Außerdem fügt sie einen zusätzlichen Auslöser für Evolution in Workflows hinzu, welcher ausschließlich DKen eigen ist: das Hinzukommen neuer Mitglieder welche zur Ziel- erreichung der DK beitragen. Zuletzt trägt diese Arbeit bei, die Lücke der Modellierung zwischen der Theorie und den Domänenexperten zu überbrücken, in dem sie eine Schritt-für-Schritt Modellierung unterstützt, welche regelmäßig in der Medizin und anderen Bereichen angewand wird.

Author : Dittmann, Christoph
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798328870
Total Pages : 295 pages
Book Rating : 4.77/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Parity games, separations, and the modal μ-calculus written by Dittmann, Christoph and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2017-03-08 with total page 295 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: The topics of this thesis are the modal μ-calculus and parity games. The modal μ-calculus is a common logic for model-checking in computer science. The model-checking problem of the modal μ-calculus is polynomial time equivalent to solving parity games, a 2-player game on labeled directed graphs. We present the first FPT algorithms (fixed-parameter tractable) for the model-checking problem of the modal μ-calculus on restricted classes of graphs, specifically on classes of bounded Kelly-width or bounded DAG-width. In this process we also prove a general decomposition theorem for the modal μ-calculus and define a useful notion of type for this logic. Then, assuming a class of parity games has a polynomial time algorithm solving it, we consider the problem of extending this algorithm to larger classes of parity games. In particular, we show that joining games, pasting games, or adding single vertices preserves polynomial-time solvability. It follows that parity games can be solved in polynomial time if their underlying undirected graph is a tournament, a complete bipartite graph, or a block graph. In the last chapter we present the first non-trivial formal proof about parity games. We explain a formal proof of positional determinacy of parity games in the proof assistant Isabelle/HOL. Die Themen dieser Dissertation sind der modale μ-Kalkül und Paritätsspiele. Der modale μ-Kalkül ist eine häufig eingesetzte Logik im Bereich des Model-Checkings in der Informatik. Das Model-Checking-Problem des modalen μ-Kalküls ist polynomialzeitäquivalent zum Lösen von Paritätsspielen, einem 2-Spielerspiel auf beschrifteten, gerichteten Graphen. Wir präsentieren die ersten FPT-Algorithmen (fixed-parameter tractable) für das Model-Checking-Problem des modalen μ-Kalküls auf Klassen von Graphen mit beschränkter Kelly-Weite oder beschränkter DAG-Weite. Für diesen Zweck beweisen wir einen allgemeineren Zerlegungssatz für den modalen μ-Kalkül und stellen eine nützliche Definition von Typen für diese Logik vor. Angenommen, eine Klasse von Paritätsspielen hat einen Polynomialzeit-Lösungs-Algorithmus, betrachten wir danach das Problem, diese Klassen zu erweitern auf eine Weise, sodass Polynomialzeit-Lösbarkeit erhalten bleibt. Wir zeigen, dass dies beim Join von Paritätsspielen, beim Pasting und beim Hinzufügen einzelner Knoten der Fall ist. Wir folgern daraus, dass das Lösen von Paritätsspielen in Polynomialzeit möglich ist, falls der unterliegende ungerichtete Graph ein Tournament, ein vollständiger bipartiter Graph oder ein Blockgraph ist. Im letzten Kapitel präsentieren wir den ersten nicht-trivialen formalen Beweis über Paritätsspiele. Wir stellen einen formalen Beweis für die positionale Determiniertheit von Paritätsspielen im Beweis-Assistenten Isabelle/HOL vor.

Author : Karcher, David S.
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798329958
Total Pages : 150 pages
Book Rating : 4.59/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Event structures with higher-order dynamics written by Karcher, David S. and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2019-03-11 with total page 150 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: Event Structure were introduced in 1979 [18] as a formal model to connect the theory of Petri nets and domain theory. Originally they consisted of atomic non-repeatable events, a binary causal dependency relation, and a binary conflict relation between those events. For a long time various extensions of the original formalism were used to define semantics for other structures such as classes of Petri nets and process calculi.In this thesis the Event Structures (ESs) are considered solely as a declarative modelling tool than as a formalism to define semantics for other structures. In order to model highly dynamic real-world processes (i.e. processes in which occurrences of events may change the dependencies of other events) with a concise model the dynamics must be an inherent part of the modelling formalism. Therefore, the Higher-Order Dynamic-Causality ESs (HDESs) were introduced. They consist of a finite set of atomic non-repeatable events, a causal dependency relation between these events, and a rule-based formalism for events to change the dependencies and the existing rules. This formalism is studied with the respect to its expressive power in comparison to transition systems, some subclasses of HDESs, and to Dynamic Condition Response Graphs (DCR-Graphs). A web tool was created in which HDESs can be defined and explored by executing events, creating the corresponding transition system, or even applying some predefined transformations.Ereignisstrukturen wurden 1979 als formales Modell eingeführt um die Theorie der Petri Netze mit der Theorie der Verbände zu verknüpfen. Ursprünglich bestanden sie aus atomaren nicht wiederholbaren Ereignissen, einer binären kausalen Abhängigkeitsrelation und einer binären Konfliktrelation auf den Ereignissen. Lange Zeit wurden verschiedene Erweiterungen des Ursprungsformalismus genutzt, um Semantiken für andere Strukturen zu definieren (z.B. Klassen von Petri Netzen und Prozesskalkülen). In dieser Arbeit werden Ereignisstrukturen (ESs) als deklarativer Modellierungsformalismus betrachtet und nicht, um Semantiken für andere Strukturen zu definieren. Um hochdynamische Prozesse (also Prozesse, in denen Ereignisse die Abhängigkeiten anderer Ereignisse verändern können) aus der realen Welt in einem präzisen, aber kleinen Modell abbilden zu können, muss die Dynamik inhärenter Bestandteil des Modellierungsformalismus sein. Um dieses leisten zu können, wurden die Higher-Order Dynamic-Causality ESs (HDESs) eingeführt. Sie bestehen aus einer endlichen Menge atomarer und nicht wiederholbarer Ereignisse, einer kausalen Abhängigkeitsrelation auf diesen Ereignissen und einem regelbasierten Formalismus, mit dem Ereignisse die Abhängigkeiten anderer Ereignisse (und auch eben diese Regeln) verändern können. Der Formalismus wird bezüglich seiner Ausdrucksstärke im Vergleich zu Transitionssystemen, zu einigen Unterklassen von HDESs und zu Dynamic Condition Response Graphs (DCR-Graphs) betrachtet. Des Weiteren wird ein Web-Tool vorgestellt, das es ermöglicht, HDESs zu definieren und zu erforschen, indem man Ereignisse ausführt, das zugehörige Transitionssystem erzeugt oder vordefinierte Transformationen anwendet.

Author : Talmon, Nimrod
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798328048
Total Pages : 295 pages
Book Rating : 4.44/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Algorithmic Aspects of Manipulation and Anonymization in Social Choice and Social Networks written by Talmon, Nimrod and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2016-05-20 with total page 295 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: This thesis presents a study of several combinatorial problems related to social choice and social networks. The main concern is their computational complexity, with an emphasis on their parameterized complexity. The goal is to devise efficient algorithms for each of the problems studied here, or to prove that, under widely-accepted assumptions, such algorithms cannot exist. The problems discussed in Chapter 3 and in Chapter 4 are about manipulating a given election, where some relationships between the entities of the election are assumed. This can be seen as if the election occurs on top of an underlying social network, connecting the voters participating in the election or the candidates which the voters vote on. The problem discussed in Chapter 3, Combinatorial Candidate Control, is about manipulating an election by changing the set of candidates which the voters vote on. That is, there is an external agent who can add new candidates or delete existing candidates. A combinatorial structure over the candidates is assumed, such that whenever the external agent adds or removes a candidate, a predefined set of candidates (related to the chosen candidate) are added or removed from the election. The problem discussed in Chapter 4, Combinatorial Shift Bribery, is also about manipulating an election. Here, however, the external agent can change the way some voters vote. Specifically, a combinatorial structure over the voters is assumed, such that the external agent can change the position of its preferred candidate in sets of voters, following some predefined patterns. The problem discussed in Chapter 5, Election Anonymization, is also about elections. The main concern here, however, is preserving the privacy of the voters, when the votes are published, along with some additional (private) information. The task is to transform a given election such that each vote would appear at least k times. By doing so, even an adversary which knows how some voters vote, cannot identify individual voters. The problems discussed in Chapter 6 and in Chapter 7 are also about privacy. Specifically, a social network (modeled as a graph) is to become publicly available. The task is to anonymize the graph; that is, to transform the graph such that, for every vertex, there will be at least $k - 1$ other vertices with the same degree. By doing so, even an adversary which knows the degrees of some vertices cannot identify individual vertices. In the problem discussed in Chapter 6, Degree Anonymization by Vertex Addition, the way to achieve anonymity is by introducing new vertices. In the problem discussed in Chapter 7, Degree Anonymization By Graph Contractions, the way to achieve anonymity is by contracting as few edges as possible. The main aim of this thesis, considering the problems mentioned above, is to explore some boundaries between tractability and intractability. Specifically, as most of these problems are computationally intractable (that is, NP-hard or even hard to approximate), some restricted cases and parameterizations for these problems are considered. The goal is to devise efficient algorithms for them, running in polynomial-time when some parameters are assumed to be constant, or, even better, to show that the problems are fixed-parameter tractable for the parameters considered. If such algorithms cannot be devised, then the goal is to prove that these problems are indeed not fixed-parameter tractable with respect to some parameters, or, even better, to show that the problems are NP-hard even when some parameters are assumed to be constant. Diese Dissertation stellt eine Untersuchung von verschiedenen kombinatorischen Problemen im Umfeld von Wahlen und sozialen Netzwerken dar. Das Hauptziel ist die Analyse der Berechnungskomplexität mit dem Schwerpunkt auf der parametrisierten Komplexität. Dabei werden für jedes der untersuchten Probleme effiziente Algorithmen entworfen oder aber gezeigt, dass unter weit akzeptierten Annahmen solche Algorithmen nicht existieren können. Die Probleme, welche im Kapitel 3 und im Kapitel 4 diskutiert werden, modellieren das Manipulieren einer gegebenen Wahl, bei welcher gewisse Beziehungen zwischen den Beteiligten angenommen werden. Dies kann so interpretiert werden, dass die Wahl innerhalb eines Sozialen Netzwerks stattfindet, in dem die Wähler oder die Kandidaten miteinander in Verbindung stehen. Das Problem Combinatorial Candidate Control ONTROL, welches in Kapitel 3 untersucht wird, handelt von der Manipulation einer Wahl durch die änderung der Kandidatenmenge über welche die Wähler abstimmen. Genauer gesagt, gibt es einen externen Agenten, welcher neue Kandidaten hinzufügen oder existierende Kandidaten entfernen kann. Es wird eine kombinatorische Struktur über der Kandidatenmenge angenommen, so dass immer wenn der externe Agent einen Kandidaten hinzufügt oder entfernt, eine vordefinierte Kandidatenmenge (welche mit den ausgewählten Kandidaten in Beziehung steht) ebenfalls hinzugefügt bzw. entfernt wird. Das Problem Combinatorial Shift Bribery, welches in Kapitel 4 untersucht wird, thematisiert ebenfalls die Manipulation einer Wahl. Hier allerdings kann der externe Agent Änderungen des Abstimmungsverhaltens einiger Wähler herbeiführen. Dabei wird eine kombinatorische Struktur über den Wählern angenommen, so dass der externe Agent die Position des von ihm präferierten Kandidaten bei mehreren Wählern entsprechend vordefinierter Muster gleichzeitig ändern kann. Das Problem Election Anonymization, welches in Kapitel 5 untersucht wird, befasst sich ebenso mit Wahlen. Das Hauptanliegen hier ist es jedoch, die Privatsphäre der Wähler bei der Veröffentlichung der Stimmenabgaben zusammen mit einigen zusätzlichen (privaten) Informationen aufrecht zu erhalten. Die Aufgabe ist es eine gegebene Wahl so zu verändern, dass jede Stimmenabgabe mindestens k-fach vorkommt. Dadurch kann noch nicht einmal ein Gegenspieler einzelne Wähler identifizieren, wenn er die Stimmenabgaben einiger Wähler bereits kennt. Die in Kapitel 6 und 7 untersuchten Probleme behandeln gleichermaßen Privatsphärenaspekte. Präziser gesagt, geht es darum, dass ein soziales Netzwerk (modelliert als Graph) veröffentlicht werden soll. Die Aufgabe ist es den Graphen zu anonymisieren; dies bedeutet man verändert den Graphen, so dass es für jeden Knoten mindestens k − 1 weitere Knoten mit dem selben Grad gibt. Dadurch wird erreicht, dass selbst ein Gegenspieler, welcher die Knotengrade einiger Knoten kennt, nicht in der Lage ist einzelne Knoten zu identifizieren. Bei dem Problem Degree Anonymization by Vertex Addition, welches in Kapitel 6 untersucht wird, wird Anonymität durch Einführung neuer Knoten erreicht. Bei dem Problem Degree Anonymization by Graph Contractions, welches in Kapitel 7 untersucht wird, wird Anonymität durch die Kontraktion von möglichst wenigen Kanten erreicht. Das Hauptanliegen dieser Dissertation in Bezug auf die obig genannten Probleme ist es die Grenzen der effizienten Lösbarkeit auszuloten. Insbesondere da die meisten dieser Probleme berechnungsschwer (genauer NP-schwer bzw. sogar schwer zu approximieren) sind, werden einige eingeschränkte Fälle und Parametrisierungen der Probleme betrachtet. Das Ziel ist es effiziente Algorithmen für sie zu entwickeln, welche in Polynomzeit laufen, wenn einige Parameter konstante Werte aufweisen, oder besser noch zu zeigen, dass die Probleme “fixed-parameter tractable” für die betrachteten Parameter sind. Wenn solche Algorithmen nicht gefunden werden können, dann ist es das Ziel zu beweisen, dass diese Probleme tatsächlich nicht “fixed-parameter tractable” bezüglich der entsprechenden Parameter sind, oder noch besser zu zeigen, dass die Probleme NP-schwer sind, sogar wenn die entsprechenden Parameter konstante Werte aufweisen.

Author : Sorge, Manuel
Publisher : Universitätsverlag der TU Berlin
ISBN 13 : 3798328854
Total Pages : 272 pages
Book Rating : 4.53/5 ( download)

DOWNLOAD NOW!

Download or read book Be sparse! Be dense! Be robust! written by Sorge, Manuel and published by Universitätsverlag der TU Berlin. This book was released on 2017-05-31 with total page 272 pages. Available in PDF, EPUB and Kindle. Book excerpt: In this thesis we study the computational complexity of five NP-hard graph problems. It is widely accepted that, in general, NP-hard problems cannot be solved efficiently, that is, in polynomial time, due to many unsuccessful attempts to prove the contrary. Hence, we aim to identify properties of the inputs other than their length, that make the problem tractable or intractable. We measure these properties via parameters, mappings that assign to each input a nonnegative integer. For a given parameter k, we then attempt to design fixed-parameter algorithms, algorithms that on input q have running time upper bounded by f(k(q)) * |q|^c , where f is a preferably slowly growing function, |q| is the length of q, and c is a constant, preferably small. In each of the graph problems treated in this thesis, our input represents the setting in which we shall find a solution graph. In addition, the solution graphs shall have a certain property specific to our five graph problems. This property comes in three flavors. First, we look for a graph that shall be sparse! That is, it shall contain few edges. Second, we look for a graph that shall be dense! That is, it shall contain many edges. Third, we look for a graph that shall be robust! That is, it shall remain a good solution, even when it suffers several small modifications. Be sparse! In this part of the thesis, we analyze two similar problems. The input for both of them is a hypergraph H , which consists of a vertex set V and a family E of subsets of V , called hyperedges. The task is to find a support for H , a graph G such that for each hyperedge W in E we have that G[W ] is connected. Motivated by applications in network design, we study SUBSET INTERCONNECTION DESIGN, where we additionally get an integer f , and the support shall contain at most |V| - f + 1 edges. We show that SUBSET INTERCONNECTION DESIGN admits a fixed-parameter algorithm with respect to the number of hyperedges in the input hypergraph, and a fixed-parameter algorithm with respect to f + d , where d is the size of a largest hyperedge. Motivated by an application in hypergraph visualization, we study r-OUTERPLANAR SUPPORT where the support for H shall be r -outerplanar, that is, admit a edge-crossing free embedding in the plane with at most r layers. We show that r-OUTER-PLANAR SUPPORT admits a fixed-parameter algorithm with respect to m + r , where m is the number of hyperedges in the input hypergraph H. Be dense! In this part of the thesis, we study two problems motivated by community detection in social networks. Herein, the input is a graph G and an integer k. We look for a subgraph G' of G containing (exactly) k vertices which adheres to one of two mathematically precise definitions of being dense. In mu-CLIQUE, 0 < mu <= 1, the sought k-vertex subgraph G' should contain at least mu time k choose 2 edges. We study the complexity of mu-CLIQUE with respect to three parameters of the input graph G: the maximum vertex degree delta, h-index h, and degeneracy d. We have delta >= h >= d in every graph and h as well as d assume small values in graphs derived from social networks. For delta and for h, respectively, we obtain fixed-parameter algorithms for mu-CLIQUE and we show that for d + k a fixed-parameter algorithm is unlikely to exist. We prove the positive algorithmic results via developing a general framework for optimizing objective functions over k-vertex subgraphs. In HIGHLY CONNECTED SUBGRAPH we look for a k-vertex subgraph G' in which each vertex shall have degree at least floor(k/2)+1. We analyze a part of the so-called parameter ecology for HIGHLY CONNECTED SUBGRAPH, that is, we navigate the space of possible parameters in a quest to find a reasonable trade-off between small parameter values in practice and efficient running time guarantees. The highlights are that no 2^o(n) * n^c -time algorithms are possible for n-vertex input graphs unless the Exponential Time Hypothesis fails; that there is a O(4^g * n^2)-time algorithm for the number g of edges outgoing from the solution G; and we derive a 2^(O(sqrt(a)log(a)) + a^2nm-time algorithm for the number a of edges not in the solution. Be robust! In this part of the thesis, we study the VECTOR CONNECTIVITY problem, where we are given a graph G, a vertex labeling ell from V(G) to {1, . . . , d }, and an integer k. We are to find a vertex subset S of V(G) of size at most k such that each vertex v in V (G)\S has ell(v) vertex-disjoint paths from v to S in G. Such a set S is useful when placing servers in a network to satisfy robustness-of-service demands. We prove that VECTOR CONNECTIVITY admits a randomized fixed-parameter algorithm with respect to k, that it does not allow a polynomial kernelization with respect to k + d but that, if d is treated as a constant, then it allows a vertex-linear kernelization with respect to k. In dieser Dissertation untersuchen wir die Berechnungskomplexität von fünf NP-schweren Graphproblemen. Es wird weithin angenommen, dass NP-schwere Probleme im Allgemeinen nicht effizient gelöst werden können, das heißt, dass sie keine Polynomialzeitalgorithmen erlauben. Diese Annahme basiert auf vielen bisher nicht erfolgreichen Versuchen das Gegenteil zu beweisen. Aus diesem Grund versuchen wir Eigenschaften der Eingabe herauszuarbeiten, die das betrachtete Problem handhabbar oder unhandhabbar machen. Solche Eigenschaften messen wir mittels Parametern, das heißt, Abbildungen, die jeder möglichen Eingabe eine natürliche Zahl zuordnen. Für einen gegebenen Parameter k versuchen wir dann Fixed-Parameter Algorithmen zu entwerfen, also Algorithmen, die auf Eingabe q eine obere Laufzeitschranke von f(k(q)) * |q|^c erlauben, wobei f eine, vorzugsweise schwach wachsende, Funktion ist, |q| die Länge der Eingabe, und c eine Konstante, vorzugsweise klein. In den Graphproblemen, die wir in dieser Dissertation studieren, repräsentiert unsere Eingabe eine Situation in der wir einen Lösungsgraph finden sollen. Zusätzlich sollen die Lösungsgraphen bestimmte problemspezifische Eigenschaften haben. Wir betrachten drei Varianten dieser Eigenschaften: Zunächst suchen wir einen Graphen, der sparse sein soll. Das heißt, dass er wenige Kanten enthalten soll. Dann suchen wir einen Graphen, der dense sein soll. Das heißt, dass er viele Kanten enthalten soll. Zuletzt suchen wir einen Graphen, der robust sein soll. Das heißt, dass er eine gute Lösung bleiben soll, selbst wenn er einige kleine Modifikationen durchmacht. Be sparse! In diesem Teil der Arbeit analysieren wir zwei ähnliche Probleme. In beiden ist die Eingabe ein Hypergraph H, bestehend aus einer Knotenmenge V und einer Familie E von Teilmengen von V, genannt Hyperkanten. Die Aufgabe ist einen Support für H zu finden, einen Graphen G, sodass für jede Hyperkante W in E der induzierte Teilgraph G[W] verbunden ist. Motiviert durch Anwendungen im Netzwerkdesign betrachten wir SUBSET INTERCONNECTION DESIGN, worin wir eine natürliche Zahl f als zusätzliche Eingabe bekommen, und der Support höchstens |V| - f + 1 Kanten enthalten soll. Wir zeigen, dass SUBSET INTERCONNECTION DESIGN einen Fixed-Parameter Algorithmus in Hinsicht auf die Zahl der Hyperkanten im Eingabegraph erlaubt, und einen Fixed-Parameter Algorithmus in Hinsicht auf f + d, wobei d die Größe einer größten Hyperkante ist. Motiviert durch eine Anwendung in der Hypergraphvisualisierung studieren wir r-OUTERPLANAR SUPPORT, worin der Support für H r-outerplanar sein soll, das heißt, er soll eine kantenkreuzungsfreie Einbettung in die Ebene erlauben mit höchstens r Schichten. Wir zeigen, dass r-OUTERPLANAR SUPPORT einen Fixed-Parameter Algorithmus in Hinsicht auf m + r zulässt, wobei m die Anzahl der Hyperkanten im Eingabehypergraphen H ist. Be dense! In diesem Teil der Arbeit studieren wir zwei Probleme, die durch Community Detection in sozialen Netzwerken motiviert sind. Dabei ist die Eingabe ein Graph G und eine natürliche Zahl k. Wir suchen einen Teilgraphen G' von G, der (genau) k Knoten enthält und dabei eine von zwei mathematisch präzisen Definitionen davon, dense zu sein, aufweist. In mu-CLIQUE, 0 < mu <= 1, soll der gesuchte Teilgraph G' mindestens mu mal k über 2 Kanten enthalten. Wir studieren die Berechnungskomplexität von mu-CLIQUE in Hinsicht auf drei Parameter des Eingabegraphen G: dem maximalen Knotengrad delta, dem h-Index h, und der Degeneracy d. Es gilt delta >= h >= d für jeden Graphen und h als auch d nehmen kleine Werte in Graphen an, die aus sozialen Netzwerken abgeleitet sind. Für delta und h erhalten wir Fixed-Parameter Algorithmen für mu-CLIQUE und wir zeigen, dass für d + k wahrscheinlich kein Fixed-Parameter Algorithmus existiert. Unsere positiven algorithmischen Resultate erhalten wir durch Entwickeln eines allgemeinen Frameworks zum Optimieren von Zielfunktionen über k-Knoten-Teilgraphen. In HIGHLY CONNECTED SUBGRAPH soll in dem gesuchten k-Knoten-Teilgraphen G' jeder Knoten Knotengrad mindestens floor(k/2) + 1 haben. Wir analysieren einen Teil der sogenannten Parameter Ecology für HIGHLY CONNECTED SUBGRAPH. Das heißt, wir navigieren im Raum der möglichen Parameter auf der Suche nach einem vernünftigen Trade-off zwischen kleinen Parameterwerten in der Praxis und effizienten oberen Laufzeitschranken. Die Highlights hier sind, dass es keine Algorithmen mit 2^o(n) * poly(n)-Laufzeit für HIGHLY CONNECTED SUBGRAPH gibt, es sei denn die Exponential Time Hypothesis stimmt nicht; die Entwicklung eines Algorithmus mit O(4^y * n^2 )-Laufzeit, wobei y die Anzahl der Kanten ist, die aus dem Lösungsgraphen G' herausgehen; und die Entwicklung eines Algorithmus mit 2^O(sqrt(a) log(a)) + O(a^2nm)-Laufzeit, wobei a die Anzahl der Kanten ist, die nicht in G' enthalten sind.